逻辑回归详细计算步骤

为了详细说明逻辑回归的数学原理，让我们使用一个简单的二元分类问题。假设我们要根据一个人的考试成绩（特征x）预测他们是否能被大学录取（目标变量y，1表示被录取，0表示未被录取）。我们有以下训练数据：

逻辑回归模型的数学表示形式如下：

h(x) = sigmoid(w * x + b)

其中，h(x)表示给定输入x（考试成绩）时被录取的概率，sigmoid是Sigmoid函数，w是权重，b是偏置项。

步骤1：初始化权重和偏置项

我们可以用任意较小的随机数初始化权重和偏置项。例如：

w = 0.1

b = 0.1

对于每个训练样本，我们先计算线性组合，然后将其输入Sigmoid函数得到概率值。

样本1（考试成绩=30）：

线性组合 = w * x + b = 0.1 * 30 + 0.1 = 3.1

概率值 = sigmoid(3.1) = 1 / (1 + e^(-3.1)) ≈ 0.957

样本2（考试成绩=50）：

线性组合 = w * x + b = 0.1 * 50 + 0.1 = 5.1

概率值 = sigmoid(5.1) = 1 / (1 + e^(-5.1)) ≈ 0.994

类似地，我们可以计算其他样本的概率值。

损失函数（Loss Function）衡量模型预测与实际标签之间的误差。逻辑回归通常使用交叉熵损失（Cross-Entropy Loss）：

L(y, h(x)) = -[y * log(h(x)) + (1 – y) * log(1 – h(x))]

我们需要计算所有训练样本的损失函数值并求和，得到总损失。

我们的目标是找到一组最佳权重和偏置项，使得损失函数值最小。我们可以使用梯度下降法来实现这一目标。首先，计算权重和偏置项的梯度，即损失函数对权重和偏置项的偏导数：

∂L/∂w = (h(x) – y) * x

∂L/∂b = (h(x) – y)

然后，使用学习率（α）更新权重和偏置项：

w = w – α * ∂L/∂w

b = b – α * ∂L/∂b

学习率（α）是一个超参数，用于控制参数更新的幅度。较大的学习率意味着更新幅度较大，可能导致参数在最佳值附近震荡；较小的学习率意味着收敛速度较慢。

我们需要多次迭代训练样本，更新权重和偏置项，以最小化损失函数。每次迭代都需要完成步骤2到步骤4。迭代次数可以事先设定，或者当损失函数值的变化小于某个阈值时停止。

在训练完成后，我们可以使用验证数据或测试数据评估模型的性能，例如计算准确率、精确率、召回率等指标。同时，我们可以使用训练好的模型对新的数据进行预测。预测过程如下：

这就是逻辑回归的数学原理和每一步运算过程。请注意，这个例子非常简化，实际应用中可能需要更多的数据和特征来提高预测准确性。