微积分中有多种基本的导数规则，这些规则为我们提供了方便的工具来计算各种常见函数的导数。以下是一些基本的导数规则：
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常数规则:
对于任何常数 c ，导数为 0。
[ \frac{d}{dx}(c) = 0 ] -
幂函数导数规则:
[ \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} ]
其中 n 是一个实数。 -
常数倍规则:
如果 u(x) 是 x 的一个函数，且 c 是一个常数，则
[ \frac{d}{dx}[c \cdot u(x)] = c \cdot \frac{du}{dx} ] -
和/差规则:
如果 u(x) 和 v(x) 是 x 的函数，则
[ \frac{d}{dx}[u(x) + v(x)] = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} ]
[ \frac{d}{dx}[u(x) - v(x)] = \frac{du}{dx} - \frac{dv}{dx} ] -
乘积规则:
[ \frac{d}{dx}[u(x) \cdot v(x)] = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) ] -
商规则:
[ \frac{d}{dx} \left[ \frac{u(x)}{v(x)} \right] = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^2} ]
前提是 v(x) ≠ 0 。 -
链式规则（复合函数的导数）:
如果 y 是 u 的函数，且 u 是 x 的函数，则
[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} ] -
三角函数的导数:
- \frac{d}{dx}[\sin(x)] = \cos(x)
- \frac{d}{dx}[\cos(x)] = -\sin(x)
- \frac{d}{dx}[\tan(x)] = \sec^2(x)
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指数函数的导数:
[ \frac{d}{dx}[a^x] = \ln(a) \cdot a^x ]
特别地，当 a = e （自然对数的底）时:
[ \frac{d}{dx}[e^x] = e^x ] -
对数函数的导数:
[ \frac{d}{dx}[\ln(x)] = \frac{1}{x} ]
并且
[ \frac{d}{dx}[\log_a(x)] = \frac{1}{x \cdot \ln(a)} ]
以上列出的导数规则可以帮助我们求解各种函数的导数，并在更复杂的微积分问题中构建更高级的解决方案。