线性回归是一种简单的机器学习算法，用于预测一个变量（称为目标变量，例如房价）与一个或多个其他变量（称为特征变量，例如房屋面积和卧室数量）之间的关系。线性回归的核心思想是找到一个线性方程，它可以最好地描述特征变量和目标变量之间的关系。
让我们用一个简单的例子来解释线性回归。假设你想预测一个城市中房价（目标变量）与房屋面积（特征变量）之间的关系。这个关系可以用一个线性方程来表示，如下所示：
房价 = a * 房屋面积 + b
在这个方程中，a 和 b 是我们要找的系数，它们可以帮助我们预测房价。我们的目标是找到最佳的 a 和 b 值，使得预测的房价与实际房价之间的误差尽可能小。
为了找到最佳的 a 和 b 值，我们可以使用一种叫做梯度下降的优化方法。梯度下降的核心思想是逐步调整 a 和 b 的值，以最小化预测误差。通过多次迭代，我们可以找到最佳的 a 和 b 值，从而得到一个线性回归模型。
举个例子，假设我们有以下房屋面积和价格的数据：
| 房屋面积 (平方米) | 房价 (万元) |
|---|---|
| 50 | 25 |
| 60 | 30 |
| 80 | 40 |
| 100 | 50 |
首先，我们定义一个线性方程来表示房价（y）和房屋面积（x）之间的关系：
y = a * x + b
我们的目标是找到最佳的 a 和 b 值，使得预测房价与实际房价之间的误差尽可能小。
- 初始化 a 和 b 的值：我们可以随机选择 a 和 b 的初始值，例如 a = 0，b = 0。
- 计算预测房价与实际房价之间的误差：我们可以使用均方误差（参考：均方误差MSE与均方根误差RMSE）作为误差度量。对于每个数据点，计算预测房价与实际房价的差值的平方，然后求平均。例如，对于第一个数据点（面积 = 50，价格 = 25），预测房价为 y = 0 * 50 + 0 = 0。因此，误差为 (25 – 0)^2 = 625。类似地，计算其他数据点的误差并求平均，得到 MSE。
- 使用梯度下降优化 a 和 b 的值：计算 a 和 b 的梯度（偏导数），然后更新它们的值。梯度是误差相对于 a 和 b 变化的方向。我们使用一个学习率（例如 0.0001）来控制更新的幅度。例如，a 的更新公式为：a_new = a – learning_rate * d(MSE)/da。同理，对于 b 也有相应的更新公式。
- 重复步骤 2 和 3：继续迭代更新 a 和 b 的值，直到误差收敛到一个较小的值，或者达到预设的迭代次数。
详细计算步骤请参考：线性回归详细计算步骤
假设我们经过若干次迭代，找到了最佳的 a 和 b 值，例如 a = 0.5，b = 5。那么我们的线性回归模型为：
y = 0.5 * x + 5
现在，如果我们有一个新的房屋面积（例如 70 平方米），我们可以使用这个模型来预测房价：y = 0.5 * 70 + 5 = 40 万元。
这就是一个简化版的线性回归计算过程。在实际应用中，我们通常使用现有的机器学习库（如 scikit-learn）来实现线性回归，而不是手动执行这些计算。